Diferensiyellenebilir Manifold

Reel bir fonksiyonun tüm kısmi türevleri tanım kümesindeki her noktada mevcut ve sürekli ise bu fonksiyona diferensiyellenebilirdir denir. Diferensiyellenebilir fonksiyonların bileşkeleri de diferensiyellenebilirdir.

Bir M kümesinde tanımlı diferensiyellenebilir bir atlas, M üzerinde n boyutlu diferensiyellenebilir bir yapı oluşturur. Üzerinde böyle bir yapı tanımlanabilen manifolda n boyutlu diferensiyellenebilir manifold denir.

Harita ve Atlas

M kümesinde tanımlı görüntü kümesi Rⁿ nin açık bir alt kümesi olan bire bir x: M → Rⁿ fonksiyonuna n boyutlu bir harita denir.

p_i :  Rⁿ → R  izdüşüm fonksiyonlarını kullanarak, böyle bir harita U tanım kümesinde
xⁱ = p_i  o  x  (i = 1,…,n)
koordinat fonksiyonlarını tanımlar öyle ki
x = (x¹, …, xⁿ) dir. Bu durumda
xm = (x¹m, … , xⁿm)
mεU noktasının x haritası altındaki koordinatları olur.

Manifold

Matematikte, özellikle de diferensiyel geometri ve topoloji de, bir manifold yeterince küçük bir ölçekte Öklid uzayına benzeyen matematiksel bir uzaydır. Öklid uzayının boyutu manifoldun da boyutudur. Mesela doğru ve çember bir boyutlu manifoldlar, düzlem ve top yüzeyi iki boyutlu manifoldlardır. Daha teknik bir ifadeyle n boyutlu bir manifoldun her noktasının n boyutlu Öklid uzayına homeomorfik bir komşuluğu vardır.

Diferensiyel Geometri

Diferensiyel geometri, geometrik problemleri çözmek için diferensiyel ve integral hesabını kullanan bir matematiksel daldır. Üç boyutlu Öklid uzayında düzlem, uzay eğrileri ve yüzeyler teorisi 18. ve 19. yüzyıllarda konunun temellerini oluşturmuştur. 19. yüzyılın sonlarında diferensiyel geometri daha çok diferensiyellenebilir manifoldlar üzerindeki geometrik yapılarla ilgilenmiştir. Diferensiyel topoloji ve diferensiyel denklemler teorisinin geometrik yönüyle yakından alakalıdır. Grigori Perelman’ın Ricci akışı tekniklerini kullanarak Poincare varsayımı isbatı, topolojideki sorulara diferensiyel geometri yaklaşımının gücünü göstermiş ve analitik yöntemlerin oynadığı önemli rolü belirginleştirmiştir.