Euler Projesi 64-65-66. Soru

64. N 10000  için kaç sürekli kesrin tek sayı devri vardır?

65. e sayısının yaklaşık değer dizisinin 100. terimini payının basamak değerleri toplamı nedir?

66. D 1000 için, minimal sonuçlar arasında en büyük x değerinin elde edildiği D değerini bulunuz.

64. Tüm karekökler sürekli kesirler olarak yazıldıklarında periyodiktirler ve şu formda yazılabilirler:

N = a0 +

1

  a1 +

1

    a2 +

1

      a3 + …

Örneğin 23 sayısını ele alalım:

23 = 4 + 23 — 4 = 4 + 

1

 = 4 + 

1

 

1

23—4

  1 + 

23 – 3

7

Eğer bu şekilde devam edersek şu açılımı buluruz:

23 = 4 +

1

  1 +

1

    3 +

1

      1 +

1

        8 + …

İşlem şöyle özetlenebilir:

a0 = 4,  

1

23—4

 = 

23+4

7

 = 1 + 

23—3

7

a1 = 1,  

7

23—3

 = 

7(23+3)

14

 = 3 + 

23—3

2

a2 = 3,  

2

23—3

 = 

2(23+3)

14

 = 1 + 

23—4

7

a3 = 1,  

7

23—4

 = 

7(23+4)

7

 = 8 +  23—4
a4 = 8,  

1

23—4

 = 

23+4

7

 = 1 + 

23—3

7

a5 = 1,  

7

23—3

 = 

7(23+3)

14

 = 3 + 

23—3

2

a6 = 3,  

2

23—3

 = 

2(23+3)

14

 = 1 + 

23—4

7

a7 = 1,  

7

23—4

 = 

7(23+4)

7

 = 8 +  23—4

Bu dizinin tekrar ettiği görülür. Kısa olsun diye, (1,3,1,8)  bloğunun tekrar ettiğini gösteren 23 = [4;(1,3,1,8)] gösterimini kullanacağız.
İlk 10 (irrasyonel) karekökün sürekli kesirler olarak gösterimleri şöyledir:

2=[1;(2)], devir=1
3=[1;(1,2)], devir=2
5=[2;(4)], devir=1
6=[2;(2,4)], devir=2
7=[2;(1,1,1,4)], devir=4
8=[2;(1,4)], devir=2
10=[3;(6)], devir=1
11=[3;(3,6)], devir=2
12= [3;(2,6)], devir=2
13=[3;(1,1,1,1,6)], devir=5

N 13 için tam olarak dört sürekli kesrin tek sayı devri vardır.
N 10000  için kaç sürekli kesrin tek sayı devri vardır?

65. 2 nin karekökü bir sonsuz sürekli kesir olarak şöyle yazılır:

2 = 1 +

1

  2 +

1

    2 +

1

      2 +

1

        2 + …

Bu sonsuz sürekli kesir  2 = [1;(2)] olarak yazılırsa, (2) demek 2 sayısı sonsuza kadar devam ediyor demektir. Benzer yolla, 23 = [4;(1,3,1,8)].
Bu aşamada, kareköklerin sürekli kesirler şeklinde gösteriminin kısmi değerlerinin dizisi, en iyi rasyonel yaklaşık değeri vermektedir. Şimdi 2 için yaklaşımları düşünelim:

1 +

1

= 3/2
 

2

 
1 +

1

= 7/5
  2 +

1

   

2

 
1 +

1

= 17/12
  2 +

1

 
    2 +

1

 
     

2

 
1 +

1

= 41/29
  2 +

1

    2 +

1

 
      2 +

1

 
       

2

 

Böylece 2 nin ilk on yaklaşık değer dizisi 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, … olur.
e sayısı için ilk on yaklaşık değer dizisi elemanı 2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465, 1457/536, … olur.
Burada 10. yaklaşık değerin payının basamak değerleri toplamı 1+4+5+7=17 dir.
e sayısının yaklaşık değer dizisinin 100. terimini payının basamak değerleri toplamı nedir?

66. Aşağıdaki ikinci dereceden Diofan denklemini düşünelim:

x2 – Dy2 = 1

Örneğin, D=13 olduğunda, en minimal çözüm 6492 – 131802 = 1.
D bir kare olduğunda, denklemin pozitif tamsayılarda çözümü olmadığı söylenebilir.
D = {2, 3, 5, 6, 7} için en minimal çözümleri bulursak:

32 – 222 = 1
22 – 312 = 1
92 – 542 = 1
52 – 622 = 1
82 – 732 = 1

Böylece, D 7 için en minimal çözümlere bakıldığında en büyük x değeri D=5 de elde ediliyor.
D 1000 için, minimal sonuçlar arasında en büyük x değerinin elde edildiği D değerini bulunuz.

Reklamlar

Bir Cevap Yazın

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s