Euler Projesi

Euler Projesi 72-73-74. Soru

72. d<=1.000.000 için sadeleştirilmiş basit kesirlerin kümesinin kaç elemanı olacaktır?

73. d<=1.000.000 için sadeleştirilmiş basit kesirlerin sıralı kümesinde, 1/3 ve 1/2 kesirleri arasında kaç kesir vardır?

74. Bir milyondan küçük başlangıç sayısına sahip, tekrarsız altmış terime sahip kaç zincir vardır?

72. n ve d sayılarının pozitif tamsayılar olduğu n/d kesrini düşünün. Eğer n<d ve EBOB(n,d)=1 ise, bu kesre sadeleştirilmiş basit kesir denir.
Eğer n<=8 için sadeleştirilmiş basit kesirleri artan sırada yazarsak,

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

kümesi elde edilir. Görüldüğü üzere kümede 21 eleman vardır.
d<=1.000.000 için sadeleştirilmiş basit kesirlerin kümesinin kaç elemanı olacaktır?

73. n ve d sayılarının pozitif tamsayılar olduğu n/d kesrini düşünün. Eğer n<d ve EBOB(n,d)=1 ise, bu kesre sadeleştirilmiş basit kesir denir.
Eğer n<=8 için sadeleştirilmiş basit kesirleri artan sırada yazarsak,

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

kümesi elde edilir. Görüldüğü üzere, 1/3 ve 1/2 kesirleri arasında üç tane kesir vardır.
d<=1.000.000 için sadeleştirilmiş basit kesirlerin sıralı kümesinde, 1/3 ve 1/2 kesirleri arasında kaç kesir vardır?

74. 145 sayısı basamaklarının faktöriyel değerlerinin toplamına eşit olmasıyla bilinen, meşhur bir sayıdır: 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.
Belki daha az bilinen ise 169 sayısıdır. Yukarıdaki özelliği kullanarak en uzun zincirleme ile kendisine döndüren bir sayıdır: 169 –> 363601 –> 1454 –> 169.
Bu şekilde toplam dört sayı vardır. Diğer ikisi:

871 –> 45361 –> 871
872 –> 45362 –> 872

HER sayının sonuçta bu döngülerden birine takılacağını ispatlamak zor değildir. Örneğin;

69 –> 363600 –> 1454 –> 169 –> 363601 (–> 1454)
78 –> 45360 –> 871 –> 45361 (–> 871)
540 –> 145 (–> 145)

69 sayısından başlayarak oluşturulan zincirde beş tane tekrar etmeyen terim var, ama bir milyondan küçük bir başlama sayısı ile oluşturulabilecek en uzun tekrarsız zincir altmış terimlidir.
Bir milyondan küçük başlangıç sayısına sahip, tekrarsız altmış terime sahip kaç zincir vardır?

Reklamlar

Bir Yanıt Bırakın

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Connecting to %s