Riyazi Tarih

Meşhur Problemler: Ünlü Paradokslar – 2

Önceki yazıdan devam…

“Tamam, bir oyun oynayalım…” diyor öğrenci B. “Bana bir tamsayı söyle, ben de sana karşılığında bir çift sayı söyleyeceğim. Ve senin sayıların farklı olursa, benim söylediklerimin de farklı olacağını garanti ederim.”

Matematik ögrencisi A: Tamam…1
Matematik öğrencisi B: 2
A: 2
B: 4
A: 18
B: 36
A: -100
B: -200
A: n
B: 2n
A: Ne demek istediğini anlamaya başlıyorum. Matematik sınıfında öğrendiğimiz küme teorisinin bir kısmını düşünelim. Çift sayılar kümesi tamsayılar kümesinin içinde yer alıyor ama bu kümeye eşit değil. Böylece bu iki küme eşit olamaz.

(Kim doğru? Öğretmen sınıfta tahtaya ne tür kümeler yazdı? Bu kümelerin birbirlerinden farkı ne?)

Yukarıdaki problemle karakterize edilen paradoks, asırlarca matematikçileri şaşırtmıştır. Kalbinde tüm matematiğe dadanan tehlikeli kavram yatmaktadır: sonsuzluk. 1874 de Georg Cantor, ilk ve son kez problemi çözen sonsuzluk dereceleri sistemi üzerine çalıştı ve matematikçilerin sonsuzluk ve küme teorisi anlayışlarını büyük ölçüde artırdı.

Cantor’un Çözümü: Sayılamamazlık

Önceki örnekte öğrenci B, aşağıdaki gibi bir eşleşme oluşturacak şekilde, tüm sayıları iki katıyla eşleştirdi:

…-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…
..-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10..

Tamsayılar şu şekilde doğal sayılarla bire bir eşlenebilir:

1, 2, 3, 4, 5,…
0, -1, 1, -2, 2,…

Şimdi, Cantor şu tanımı yapmıştır:

Tanım: İki küme, eğer elemanları arasında bire bir eşleme yapılabiliyorsa, büyüklükte (boyutta) eşittirler. Bunun anlamı doğal sayılar, tamsayılar ve çift sayılar kümeleri hep ‘aynı sayıda’ elemana sahiptir. Cantor doğal sayıların sayısını sınırlıdönüşüm (transfinite) sayısı olan No ile gösterdi. Gösterim kolaylığı açısından, doğal sayılar kümesi ( ve eş büyüklükteki tüm kümeler) genelde sayılamaz (denumerable) dendiği için, bu sayıyı d ile göstereceğiz. Bir küme sayılamazdır ancak ve ancak sonsuz bir dizi {a1, a2, a3…} olarak yazılabiliyorsa. Bu durumda a1 terimi 1 sayısına, a2 2 ye, vb eşleşir.

Kümelerin büyüklüklerini gösteren sayılara kardinal sayılar denir. Sınırlı kümeler için kardinal sayılar doğal sayılardır. Eğer büyüklüğü X olan bir kümenin Y büyüklüğe sahip bir öz alt kümesi (kendisine eşit olmayan alt kümesi) varsa, ama Y büyüklüğe sahip bir kümenin X büyüklüğünde bir öz alt kümesi yoksa, X kardinal sayısı Y kardinal sayısından büyüktür denir. Herhangi sonsuz bir kümenin, {a1, a2, a3…}gibi sonsuz bir alt kümesi olacağından, en küçük sınırlıdönüşüm (transfinite) sayısı d dir.

Teorem: Rasyonel sayılar kümesi sayılamazdır, yani d kardinal sayısına sahiptir.

İlk bakışta, rasyonel sayıların doğal sayılardan ‘daha’ fazla olduğu düşünülür, çünkü herhangi farklı iki rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır. Bu doğal sayılar için doğru değildir. Bununla birlikte, Cantor yukarıdaki teoremi şu şekilde ispatladı:

d sayısı en küçük sınırlıdönüşüm (transfinite) sayısı olduğundan, sadece rasyonel sayıları içeren bir kümenin sayılamaz olduğunu ispatlamak yeterlidir. Yani, rasyonel sayılar kümesi sonsuz bir kümedir, böylece büyüklüğü d olur ve kendini kapsayan bir kümenin büyüklüğünden daha büyük olamaz. Şu kümeyi ele alalım:

Bu küme rasyonelleri içeriyor (çoğunu birden fazla). Şimdi, bu kümeyi şu şekilde sıralayalım:

Sayılamaz {1, 2, 1/2, 1/3, 2/2, 3…} kümesi elde edilir.

Şimdisıfırla başlayıp her sayının negatifini de katarak aşağıdaki kümeyi bulalım:

{0, 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 2/2, -2/2, 3, -3…}

Böylelikle rasyonelleri içeren bir küme, doğal sayılarla sistematik bire-bir eşlemeye sokuldu.

Reklamlar

Bir Yanıt Bırakın

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Connecting to %s