Riyazi Tarih

Meşhur Problemler: Olasılık ve Noktalar Problemi – 1

Olasılığın Başlangıcı…

Arkeologlar tarih öncesi barınaklarda, medeniyetler boyunca değişik toplumlar için oyun ve şans oyunlarının önemli bir eğlence aracı olduğunu gösteren kanıtlar buldular. Yunan, Mısır, Çin ve Hindu hanedanlarının büyük matematiksel buluşları ve insanların oyun oynamaya olan meyilleri alındığında, olasılık matematiğinin diğerleri arasında en erken gelişmeye başladığı tahmin edilebilir. Buna karşın, 17. yy da fransız matematikçiler Pierre de Fermat ve Blaise Pascal’a kadar, olasılık matematiğinde dikkate değer bir gelişme olmamıştır.

Noktalar Problemi

Rönesans Avrupa’sında matematiksel olasılığın gelişimine ilham olan problem budur. Kısaca şöyle tanımlanabilir:

İki eşit yetenekte oyuncu belli bir para karşılığında bir şans oyunu oynarlarken, oyun kesiliyor. Bu aşamadaki oyun skoruna göre para nasıl bölünmelidir?

Burada “eşit yetenekli” her oyuncunun oyuna eşit kazanma şansı ile başladığı anlamına gelir. Aşağıdaki senaryoyu takip ediniz.

Pascal ve Fermat Paris’te bir kafede oturuyorlar ve daha zor senaryolar tartışarak geçen yorucu saatlerden sonra, oyunların en kolayı olan, para atma oyununu oynamaya karar verirler. Eğer tura gelirse Fermat, yazı gelirse Pascal bir puan alacaktır. İlk kez on puan alan kazanacaktır. Sonuçta ne olursa olsun brinin diğerini yemeğe götüreceğini bilerek, her biri ortaya 50 Frank para koyuyor, böylece ortada 100 Frank bahis oluyor. Kazanan hepsini alacak. Ama sonra ilginç birşey oluyor. Fermat 8 e karşı 7 yenerken, bir arkadaşının hasta olduğuna dair bir mesaj alıyor ve Toulouse’a gitmesi gerekiyor. Mesajı getiren adam, hemen hareket etmek şartıyla onları götürebileceğini söylüyor. Tabii ki Pascal durumu anlayışla karşılıyor, ama ortadaki parayı nasıl bölüştürecekler?

Fermat bir mektubunda şu teklifi sunuyor:

“Değerli Blaise,
100 Frankı bölüştürme problemi hakkında, adil olduğunu düşüneceğin bri çözüm buldum. Benim sadece 2 senin de 3 puana ihtiyacın olduğunu düşünürsek, 4 atışta oyun bitecekti.

Bu dört atışta, eğer galibiyet için gereken üç puanı alamazsan, bu benim kazanmam için gereken iki puanı aldığım anlamına gelir. Benzer yolla, eğer ben iki puanı alamazsam, sen kazanman için gerekli olan en az üç puanı almış ve kazanmışsın demektir. Böylece, aşağıdaki olası oyun senaryolarının eksiksiz olduğuna inanıyorum. ‘h’ harfi tura, ‘y’ harfi de yazıyı göstermektedir. Benim kazandığım senaryolara yıldız koydum.

h h h h *  h h h t *  h h t h *  h h t t *
h t  h h *  h t h t *   h t t h *   h t t t
t  h h h *  t h h t *   t h t h *   t h t t
t  t  h h *  t t h t      t t t h       t t t t

Bu çıktıların hepsinin eş olasılı olduğunda hem fikir olduğunu düşünüyorum. Bu yüzden, parayı benim lehime olarak 11:5 oranında dağıtmamız gerektiğine inanıyorum, yani ben (11/16)*100=68.75 Frank almalıyım ve sen de 31.25 Frank almalısın tabii.
Paris’te herşeyin yolunda olması temennisiyle,
Arkadaşın ve meslektaşın,
Pierre”

Reklamlar

Bir Yanıt Bırakın

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Connecting to %s