Meşhur Problemler: Olasılık ve Noktalar Problemi – 2

Pascal’ın Genellemesi

Pascal ve Fermat arasındaki hayali hikayemize devam edelim. Fermat’ın mektubuna karşı Pascal’ın cevabı belki de şöyle olacaktı:

“Değerli Pierre,

Cevabını gerçekten tatmin edici buldum. Sana ait olan bendeki parayı ilişikte bulacaksın. Cevabının ilhamıyla problem hakkında daha fazlasını düşünmeye başladım. Farkettim ki, eğer kazanmak için belirlediğimiz puanları çok artırsaydık, tüm olası senaryoları yazma metodu usandırıcı olabilirdi. Böylece problemin genellemesini aramaya başladım. Tatmin edici bir çözüm bulduğuma inanıyorum.

Oyunumuz için senin çözümüne bir göz atalım. Eğer senin lehine olacak senaryoların sayısını hesaplamak için genel bir yol keşfedebilsek, genel çözüme giden yolda olacağız gibi görünüyor. İki veya daha fazla turanın geldiği bir çıktı (senaryo), senin kazandığın anlamına gelir. Böyle çıktıların toplam sayısı, dört nesne arasından ikisini seçme yollarının sayısı, dört nesne arasından üçünü seçme yollarının sayısı ve yine dört nesne arasından dördünü seçme yollarının sayısının toplamına eşittir. Burada paranın senin lehine gelme ‘olayları’ bizim sayma terminolojimizdeki ‘nesneler’ oluyor. n tane nesne arasından r tanesini seçme yollarının sayısını nCr ile gösterelim. Böylece senin kazanma olasılığın şu ifade ile bulunur:

4C2 + 4C3 + 4C4
—————
tüm çıktılar

Şimdi, n tane nesneden r tanesini farklı seçme yolları sayısını daha önce tartışmıştık.

               n*(n-1)*(n-2)*…*2*1
nCr = —————————————————
               r*(r-1)*…*2*1 * (n-r)*(n-r-1)*…*2*1

Şimdi, ilk bakışta bu bölümleri hesaplamak da oldukça bezdirici gelebilir. Buna karşın, bunların benim ‘ toplama üçgeni’ (Pascal üçgeni)’ndeki değişik satırlardaki sayılara karşılık geldiğini farkettim. Yani bu şekil

aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

Böylelikle, iki oyuncunun oynadığını farzedelim ve ilk oyuncu kazanmak için n puana ihtiyaç duyarken, ikinci oyuncunun m puana ihtiyacı olsun. Ortadaki paranın nasıl bölüştürüleceğini hesaplamak için, üçgenin (n+m) satırını toplamak ve sonra ilk m girişi toplamak gerekiyor. Bu sayı ilk oyuncunun (n puana ihtiyaç duyan) paradan alacağı payı gösteriyor. Kalan girişlerin toplamı da ikincinin payını gösteriyor. Yani, eğer s ortada toplanan parayı temsil etse, 1. oyuncu şu kadar almalı:

(ilk m girişin toplamı)
——————————— * s
(tüm satırın toplamı)

2. oyuncu da şunu almalı:

(son n girişin toplamı)
——————————— * s
(tüm satırın toplamı)

Bu durumda senin payın ((1+4+6)/(1+4+6+4+1))*100 = 68.75 F oluyor.

Arkadaşının çabuk iyileşmesi için dua ediyorum ve herşeyin senin için iyi olması temennisiyle,

Arkadaşın

Blaise”

Özet: Matematikte Büyük Bir An

Önceki bölümlerde görünen mantık basit olabilir, ama Pascal ve Fermat orada, bize sezgisel gelen, 1654 yılında devrim niteliğinde olan çok önemli bir kavramı anladılar. Bu eş olasılı çıktılar fikriydi. Bir olayın olma olasılığının, olayın eş olasılı yollarının sayılması ve verilen olayın olası tüm çıktılarının sayısına bölünmesi ile hesaplanabildiğini farkettiler. Dört parayı havaya attığında (eş olasılı) 16 farklı çıktıyı düşündüğünde Fermat’ın yaptığı buydu. Yine, size çok açık gibi gelebilir, ama 15 ve 16 yy’ın birçok büyük matematikçisi aynı probleme yanlışlığı açık şekilde belli olan ‘çözümler’ vermişlerdir.

Reklamlar

Bir Cevap Yazın

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s