Riyazi Tarih

Meşhur Problemler: e Sayısı İrrasyoneldir

Pi sayısı gibi e sayısı da, önemli birçok alanda görünen matematiğin özel sayılarından biridir. Örneğin, analizde f(x) = c.e^x fonksiyonu türevi kendisi olan tek fonksiyondur (sıfır fonksiyonunu dışında). e sayısı doğal logaritmanın tabanıdır ve n sonsuza giderken (1+1/n)^n dizisinin limitidir. Aşağıdaki e’nin irrasyonel olduğu ispatını yaparken, e sayısının tersi alınmış faktöriyellerin seri toplamı olduğu gerçeğini kullandık.

Pi sayısı gibi e sayısı da irrasyoneldir. Bu iki sayı matematiğin gelişiminde önemli rol oynamalarına rağmen, sayı sistemimizde kolaylıkla ifade edilememeleri gerçekten ilginçtir. Bir sayının irrasyonel sayının, herhangi aralarında asal iki p ve q tamsayılarının bölümü p/q şeklinde yazılamayacağından yola çıkarak, e sayısının rasyonel olmadığını oldukça kolay ispatlayabiliriz.

Aşağıdaki çok bilinen ispat Joseph Fourier’a aittir:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …
e = p/q , p ve q pozitif iki tamsayı olsun. Bu eşitliğin her iki tarafını q! ile çarpalım: 
q!e = q! + q!/1! + q!/2! + q!/3! + … + q!/q! +…
e = p/q olduğundan, q!e sayısı bir tamsayıdır ve aşağıdaki de öyle:
q! + q!/1! + q!/2! + q!/3! + … + q!/q! +…
q!/q dan sonra gelen terimlerin toplamı da bir tamsayı olmalıdır. Bu toplama R dersek:
R = q!(1/(q+1)! + 1/(q+2)! + 1/(q+3)! +…)
R = 1/(q+1) + 1/(q+1)(q+2) + 1/(q+1)(q+2)(q+3) +…
    < 1/(q+1) + 1/(q+1)^2 + 1/(q+1)^3 +…
    < [1/(q+1)](1+ 1/(q+1) + 1/(q+1)^2 +…)
    < [1/(q+1)](1/(1-1/(q+1)))
    = [1/(q+1)]((q+1)/q) = 1/q
Yani R < 1/q bulunur. R nin tanımına bakarsak, q pozitif olduğundan R de öyledir. Böylece R, 0 ve 1/q arasında pozitif bir tamsayıdır. Oysa bu bir çelişkidir. Sonuçta e sayısının rasyonel olduğu kabulü yanlıştır. Yani e irrasyoneldir.

Reklamlar

Bir Yanıt Bırakın

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Connecting to %s