Türkiye TST 2006

Gün 1:

1. Köşeleri bir çember üzerinde ve iki köşegeni dik olan bir yedigenin alabileceği en büyük alanı bulunuz.

2. 2xn lik bir dikdörtgeni, n pozitif tamsayı olmak üzere, kenarları tamsayı olan dikdörtgenlere ayırmanın kaç yolu vardır?

3. x, y, z pozitif sayılar ve xy+yz+xz=1 olmak üzere,
(27/4)*(x+y)*(y+z)*(x+z)>=(sqrt(x+y)+sqrt(y+z)+sqrt(z+x))^2>=6*sqrt(2) olduğunu gösteriniz.

Gün 2:

1.  Tüm n>=1 tamsayıları için, x₁ pozitif tamsayı olmak üzere,
x_n+1 = x₁² + x₂²+ … + x_n²  olarak tanımlıdır. 2006 sayısının x₂₀₀₆  yı böldüğü en küçük x₁ i bulunuz.

2. AB çaplı bir çemberin bir Q noktasından, AB doğrusuna QH dikmesi çiziliyor (H, AB üzerinde). AB çaplı çemberle, QH yarıçaplı ve Q merkezli çemberin kesişim noktaları C ve D dir. [CD] doğru parçasının [QH] doğru parçasını ortaladığını ispatlayınız.

3. 2006 öğrencinin her biri, 2006 okul arasından 12 okul bulunan listeler hazırlıyorlar. Herhangi 6 öğrenci alınsa, öyle iki okul bulunuyor ki, en az biri her 6 listede de yer alıyor. Bütün listelerde bulunan okullardan en az birini içeren bir listeye “iyi liste” denir. Aşağıdakileri ispatlayınız:
a. Listeler ne olursa olsun, 12 elemanlı bir iyi liste her zaman bulunabilir.
b. Öğrenciler daha az elemanlı (yukarıdakinden) listeler yapamazlar.