Euler Projesi 101-102. Soru

101. Bir dizinin ilk k terimi verilmiş olsa, diziyi modelleyecek sonsuz sayıda polinomun bulunduğuna binaen, sonraki terimi kesinlikle söyleyebilmek mümkün değildir.

Örneğin, kübik sayıların dizisini ele alalım. Bu dizi un = n3 üretken fonksiyonu ile tanımlanır: 1, 8, 27, 64, 125, 216, …

Bu dizinin ilk iki teriminin verildiğini farzedelim. “basit olanı en iyisidir” prensibiyle, doğrusal bir bağıntı kurup sonraki terimin 15 olacağını tahmin edeceğiz (ortak fark 7). İlk üç terim verilse dahi, aynı prensiple aralarında ikinci dereceden bir bağıntı olduğu düşünülecek.

Bir dizinin ilk k terimi için, en uygun üretken (polinomik) fonksiyonun n. terimini OP(k,n) ile tanımlayalım. OP(k,n) fonksiyonunun dizinin ilk k terimini tam olarak vereceği açıktır ve OP(k, k+1) potansiyel olarak ilk yanlış terim (FIT) olacaktır: bunu kötü bir OP(BOP) olarak adlandıracağız.

Temel olarak, eğer dizinin sadece ilk terimi verilse, en uygunu sabit olduğunu düşünmektir; yani n>=2 için OP(1,n)= u1.

Böylece kübik dizi için aşağıdaki OP’ları elde ederiz:

OP(1, n) = 1 1, 1, 1, 1, …
OP(2, n) = 7n-6 1, 8, 15, …
OP(3, n) = 6n2-11n+6      1, 8, 27, 58, …
OP(4, n) = n3 1, 8, 27, 64, 125, …

k>=4 için hiç BOP olmadığı açıktır.

BOP lar tarafından üretilen FIT lerin toplamını düşünürsek (yukarıda kırmızı ile gösterilen), 1+15+58=74 buluruz.

Aşağıdaki 10. dereceden üretken polinomik fonksiyonu düşünelim:

un = 1 n + n2 n3 + n4 n5 + n6 n7 + n8 n9 + n10

BOP lar için FIT lerin toplamını bulunuz.

102. 1000<= x,y <=1000 olmak üzere, bir üçgen oluşturacak şekilde, Kartezyen düzleminde rastgele 3 farklı nokta işaretleniyor.

Aşağıdaki iki üçgeni düşünelim:

A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)

ABC üçgeninin orijini içerdiği ama XYZ üçgeninin içermediği doğrulanabilir.

triangles.txt  dosyasını (1000 tane “rastgele” üçgenlerin koordinatlarını içeren) kullanarak, orijini içeren üçgenlerin sayısını bulunuz.

Not: Yukarıda verilen iki üçgen, dosyadaki ilk iki örnektir.

Reklamlar

Bir Cevap Yazın

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Connecting to %s