Meşhur Problemler: e Sayısı İrrasyoneldir

Pi sayısı gibi e sayısı da, önemli birçok alanda görünen matematiğin özel sayılarından biridir. Örneğin, analizde f(x) = c.e^x fonksiyonu türevi kendisi olan tek fonksiyondur (sıfır fonksiyonunu dışında). e sayısı doğal logaritmanın tabanıdır ve n sonsuza giderken (1+1/n)^n dizisinin limitidir. Aşağıdaki e’nin irrasyonel olduğu ispatını yaparken, e sayısının tersi alınmış faktöriyellerin seri toplamı olduğu gerçeğini kullandık.

Okumaya devam et

Meşhur Problemler: Olasılık ve Noktalar Problemi – 3

Önceki yazıdan devam…

Problemler:

Problem 1: Fermat ile Pascal’ın oyunlarının, 9 a 6 Pascal yenerken kesildiğini farzedin. 100 Frank nasıl dağıtılmalıydı?

Problem 2: Senin önceden oyuna geldiğini ve onları 5 e 5 berabere gördüğünü düşünelim. Daha sonra, 5 atış sonrasında geldiğinde, Pascal’ın 9 a 6 önde olma ihtimali nedir?

Okumaya devam et

Meşhur Problemler: Olasılık ve Noktalar Problemi – 2

Pascal’ın Genellemesi

Pascal ve Fermat arasındaki hayali hikayemize devam edelim. Fermat’ın mektubuna karşı Pascal’ın cevabı belki de şöyle olacaktı:

“Değerli Pierre,

Cevabını gerçekten tatmin edici buldum. Sana ait olan bendeki parayı ilişikte bulacaksın. Cevabının ilhamıyla problem hakkında daha fazlasını düşünmeye başladım. Farkettim ki, eğer kazanmak için belirlediğimiz puanları çok artırsaydık, tüm olası senaryoları yazma metodu usandırıcı olabilirdi. Böylece problemin genellemesini aramaya başladım. Tatmin edici bir çözüm bulduğuma inanıyorum.

Okumaya devam et

Meşhur Problemler: Olasılık ve Noktalar Problemi – 1

Olasılığın Başlangıcı…

Arkeologlar tarih öncesi barınaklarda, medeniyetler boyunca değişik toplumlar için oyun ve şans oyunlarının önemli bir eğlence aracı olduğunu gösteren kanıtlar buldular. Yunan, Mısır, Çin ve Hindu hanedanlarının büyük matematiksel buluşları ve insanların oyun oynamaya olan meyilleri alındığında, olasılık matematiğinin diğerleri arasında en erken gelişmeye başladığı tahmin edilebilir. Buna karşın, 17. yy da fransız matematikçiler Pierre de Fermat ve Blaise Pascal’a kadar, olasılık matematiğinde dikkate değer bir gelişme olmamıştır.

Okumaya devam et

Meşhur Problemler: Ünlü Paradokslar – 2

Önceki yazıdan devam…

“Tamam, bir oyun oynayalım…” diyor öğrenci B. “Bana bir tamsayı söyle, ben de sana karşılığında bir çift sayı söyleyeceğim. Ve senin sayıların farklı olursa, benim söylediklerimin de farklı olacağını garanti ederim.”

Matematik ögrencisi A: Tamam…1
Matematik öğrencisi B: 2
A: 2
B: 4
A: 18
B: 36
A: -100
B: -200
A: n
B: 2n
A: Ne demek istediğini anlamaya başlıyorum. Matematik sınıfında öğrendiğimiz küme teorisinin bir kısmını düşünelim. Çift sayılar kümesi tamsayılar kümesinin içinde yer alıyor ama bu kümeye eşit değil. Böylece bu iki küme eşit olamaz.

Okumaya devam et

Meşhur Problemler: Ünlü Paradokslar

Matematik bireysel medeniyetleri ve özel dilleri aşar. O, geniş bir mantık sistemi – bir çeşit kainat dilidir. Matematikçileri eski zamanlardan şu ana kadar zorlayan belirli paradoks ve çelişkiler çıkmıştır. Bazıları yanlış paradokslardır: gerçek çelişkiler sunmazlar ve yalnızca düz mantıksal hilelerdir. Diğerleri matematiğin temellerini bile sarsmışlardır – çözmek için parlak, kreatif matematiksel düşünce gerektiren. Diğerleri bu güne kadar çözülemeden gelmiştir. Burada iki paradoks anlatılacak: Zeno’nun hareket paradoksu ve Cantor tarafından çözülen sonsuz kümeler paradoksu.

Okumaya devam et

Meşhur Problemler: Asal Sayılar

Matematiğin en güzel ve önemli alanlarından biri de sayılar teoridir – sayıları ve özelliklerini inceler. Her ne kadar matematikciler insanların sayabildiği dönemlerden bu yana sayılarla uğraşıyor olsalarda, sayılar teorisi alanı demode olmaktan çok uzaktır; bugünkü en önemli ve ilginç problemlerden bazıları bu alanla ilgilidir. Özellikle asal sayılar büyük ilgi merkezidir.

Okumaya devam et

Meşhur Problemler: Pi’nin Değeri

Tarihçilere göre, yaklaşık M.Ö. 2000 yıllarında insanlar, herhangi bir çemberin çevresinin çapına oranının sabit olduğunu farketmişlerdi. Bu buluş şu orantı ile de ilişkilendirilmiştir: çember boyunca ortasından alınan mesafeyi ikiye katladığınızda, çevresinden alınan yol da ikiye katlanıyordu. Bugün bu gösterim, pi = Çevre/Çap formülü ile ifade ediliyor.

Okumaya devam et