Euler Projesi 150. Soru

Bir Üçgen Dizinin Minimum Toplamlı Alt-üçgeni

Pozitif ve negatif tam sayıların bir üçgen dizisinde, en küçük toplamlı bir alt-üçgeni bulmaya çalışıyoruz.

Aşağıdaki örnekte işaretlenen şartları sağlayan üçgen içindeki sayıların toplamı -42’dir.

Böyle 100 sırası bulunan bir üçgen dizi oluşturmak istiyoruz, böylece (Doğrusal Eşleşik Üreteç adı verilen) aşağıdaki gibi bir rastgele sayı üreteci kullanarak 500500 adet ±219 aralığında sözde-rastgele sk sayısı üretiyoruz:

t := 0
for k = 1 up to k = 500500:
t := (615949*t + 797807) modulo 220
sk := t−219

Böylece: s1 = 273519, s2 = −153582, s3 = 450905 vb.

Sözde-rastgele sayıları kullanarak üçgen dizimiz şöylece oluşturulur:

s1
s2  s3
s4  s5  s6
s7  s8  s9  s10

Alt-üçgenler dizinin herhengi elemanından başlayıp istediğimiz kadar aşağı doğru genişletilebilir (altındaki sıradan iki eleman, onun altından üç eleman vb).

Bu alt-üçgen içinde kalan sayıların toplamına “alt-üçgenin toplamı” diyoruz.

Olası en küçük alt-üçgen toplamını bulunuz.

Okumaya devam et

Euler Projesi 149. Soru

Maksimum Toplamlı Altdizi

Aşağıdaki tabloya göre, herhangi yöndeki (yatay, dikey, çapraz) maksimum ardışık sayılar toplamı  16’dır (=8+7+1).

−2 5 3 2
9 −6 5 1
3 2 7 3
−1 8 −4   8

Aynı işlemi daha büyük ölçekte yapalım:

Öncelikle “Gecikmeli Fibonacci Üreteci” denen belirli formu kullanarak 4 milyon sözde-rastgele sayılar üretin:

1 ≤ k ≤ 55 için sk = [100003 − 200003k + 300007k3] (modulo 1000000) − 500000.
For 56 ≤ k ≤ 4000000, sk = [sk−24 + sk−55 + 1000000] (modulo 1000000) − 500000.

Böylece, s10 = −393027 ve s100 = 86613.

Daha sonra s‘nin terimlerini 2000×2000 bir tabloda düzenleyin, ilk 2000 sayı birinci satırda (sırasıyla), sonraki 2000 sayı ikinci satırda vb.

Son olarak, herhangi yöndeki (yatay, dikey, çapraz) maksimum ardışık sayılar toplamını bulunuz.

Okumaya devam et

Euler Projesi 148. Soru

Pascal Üçgenini İnceleme

Pascal üçgeninin ilk 7 sırasının hiçbir elemanının 7 ile bölünebilir olmadığı kolaylıkla gösterilebilir:

 1
 1  1
 1  2  1
 1  3  3  1
 1  4  6  4  1
 1  5 10 10  5  1
1  6 15 20 15  6  1

Bununla birlikte, ilk 100 sırasını kontrol edersek 5050 elemandan 2361 tanesi 7 ile bölünebilir değildir.

İlk bir milyar (109) sırasının kaç tane elemanının 7 ile bölünebilir olmadığını bulunuz.

Okumaya devam et

Euler Projesi 147. Soru

Çapraz Çizgili Izgaralarda Dikdörtgenler

3×2 boyutunda çapraz çizgili ızgarada, aşağıda gösterildiği üzere ızgara içinde toplam 37 farklı dikdörtgen konumlandırılabilir.

Yatay ve dikey boyutlarına göre 3×2’den küçük 5 farklı ızgara mümkün: 1×1,2×1,3×1,1×2 ve 2×2. Bu ızgaralara göre düşünüldüğünde yukarıdaki sorunun cevabı şöyle olur:

1×1: 1
2×1: 4
3×1: 8
1×2: 4
2×2: 18

Bunları 3×2 ızgaranın 37 dikdörtgeni ile toplarsak, 3×2 ve küçük tüm ızgaralarda toplamda 72 farklı dikdörtgen konumlandırılabilir.

Şimdi, 47×43 ve küçük tüm ızgaralarda kaç farklı dikdörtgen konumlandırılabilir?

Okumaya devam et

Euler Projesi 145. Soru

Bir milyardan küçük kaç tane çevrilebilir sayı vardır?

Bazı n pozitif sayıları şu özelliğe sahiptir: toplam[n + çevir(n)] sayısı sadece tek rakamlardan oluşuyor. Örneğin 36 + 63=99 ve 409 + 904 = 1313. Böyle sayılara çevrilebilir deriz; yani 36, 63, 409 ve 904 çevrilebilirdir. Sıfırla başlama ne n için ne de çevir(n) için kabul edilemez.

Binden küçük 120 adet çevrilebilir sayı bulunmaktadır.

Acaba bir milyardan (1.000.000.000) küçük kaç adet çevrilebilir sayı vardır?

Okumaya devam et

Euler Projesi 144. Soru

Bir Lazer Işınının Çoklu Yansımalarını İnceleme

Lazer fiziğinde, bir “beyaz hücre” lazer ışını için bir gecikme hattı gibi davranan bir ayna sistemidir. Işın hücreye girer, aynanın çeçevesinden seker ve sonuçta dışarı çıkar.

Burada ele alınacak özel beyaz hücre, 4x^2+y^2=100 denklemli elipsdir.

Tepede -0,01 \le x \le +0,01 aralığına karşılık gelen kısım açıktır, ışının bu delikten girip çıkması mümkündür.

Bu problemde lazer ışını beyaz hücrenin hemen dışında (0,0; 10,1) noktasından başlıyor ve aynaya ilk (1,4; -9,6) noktasında çarpıyor.

Lazer ışınının elips yüzeyine her çarpışında, olağan yansıma kuralınına (geliş açısı yansıma açısına eşittir) uygun hareket ediyor. Yani, gelen ve yansıyan ışınlar, normal doğrusu ile aynı açıyı yaparlar.

Soldaki şekilde kırmızı çizgi, lazer ışınının beyaz hücrenin duvarı ile iki temas noktasını gösteriyor; mavi çizgi ise, ilk temastaki değme noktasında elipse teğet olan doğruyu gösteriyor.

Verilen elipsin herhangi (x;y) noktasındaki teğet doğrusunun eğimi m=-4x/y’dir.

Normal doğrusu temas noktasında bu teğet doğrusuna diktir.

Sağdaki animasyon ışının ilk 10 yansımasını gösteriyor.

Işın beyaz hücrenin iç duvarına, çıkmadan önce kaç defa çarpar? Okumaya devam et

Euler Projesi 143. Soru

Bir Üçgenin Torricelli Noktasını Araştırma

ABC, tüm iç açıları 120 dereceden küçük olan bir üçgen olsun. Üçgenin içinde bir nokta X olsun ve XA=p, XC=q ve XB=r olsun.

Fermat, p+q+r minimum olacak şekilde X noktasının konumunu bulma konusunda Torricelli’ye meydan okudu.

Torricelli eğer ABC üçgeninin herbir kenarında AOB, BNC ve AMC eşkenar üçgenleri çizilirse, bu üçgenlerin çevrel çemberlerinin ABC üçgeni içinde tek bir T noktasında kesişeceklerini ispatlayabildi. Dahası Torricelli noktası adı verilen bu T noktasının p+q+r değerini minimize ettiğini ispatladı. Daha da çarpıcı olanı, bu toplam en küçük iken AN=BM=CO=p+q+r olduğunun ve AN,BM ve CO doğru parçalarının da T noktasında kesiştiklerinin ispatlanabilmesidir.

Eğer toplam en küçük ve a,b,c,p,q,r pozitif tam sayılar ise ABC üçgenine bir Torricelli üçgeni denir. Örneğin a=399, b=455, c=511 bir Torricelli üçgeni olup p+q+r=784’tür.

Torricelli üçgenleri için tüm farklı p+q+r=<120000 değerlerinin toplamını bulunuz.

Okumaya devam et