Bir Dakikada Matematik: Penguenler

Bugün, 20 Ocak, penguen farkındalık günüydü. Bazı önemli matematik konularına bakmadan bu önemli günün geçmesine izin veremeyiz. Penguenler, Antarktika buzunun yuvalanma noktasından beslenme alanlarına kadar yorucu yürüyüşler de dahil olmak üzere, bazı türlerin civcivlerini yetiştirmek için yaşadığı inanılmaz sıkıntılara bir örnek olarak bilinir ve saygı duyulur. Bir penguenin az tanınan ve daha az zorlayıcı olan ebeveynlik görevlerinden biri, tatlandırılmamış yumurtalarını uzun eksenleri etrafında düzenli olarak döndürmektir.

Çok uzun zamandır kimse niçin bunu yaptıklarını bilmiyordu, fakat keşfetmek önemliydi: Penguenleri yapay büyütme programları genellikle yumurtaları kuluçka kuşundan alıp bir kuluçka makinasına yerleştirir. Annenin kaybı telafi etmek için daha fazla yumurta yapacak; bu nedenle yapay kuluçkacıların işi iyi olduğu sürece annenin tek başına üretebileceğinden daha fazla civciv kalacak. Maksimum etkili olabilmesi için yapay kuluçka makineleri, yumurtaların dönüşü dahil, olabildiğince doğal koşulları taklit etmelidir. Ancak yumurtaların neden döndürülmüş olduğunu bilmeden, döndürmeyi etkin bir şekilde kopyalamak zor ve dönme olmadan civcivler yumurtadan çıkmayacak.

Okumaya devam et

Bir Dakikada Matematik: Zincir Eğrisi

Wembley Stadı’nın üstündeki kemer ters yönde katenar. Image: Rob, CC BY 2.0.

Bir zinciri iki kancadan askıya aldığınızda ve kendi ağırlığının altında doğal olarak asılmasına izin verdiğinizde, oluşan eğriye katenar eğrisi denir.
Herhangi bir asılı zincir, gerginlik kuvvetlerinin (zinciri yukardan tutan kancalardan gelen) ve yerçekiminin aşağı doğru çeken kuvvetinin dengede bulunduğu bu biçimi doğal olarak bulacaktır.

Katenary eğrisini ters çevirdiğinizde güzel bir şey olur. Ters katenar bu durumda bir kemer tarif eder – ve bir kemerin en istikrarlı şekil olduğu ortaya çıkıyor. Asılı zincirde gerginlik kuvvetleri eğrinin çizgisi boyunca hareket eder. Ters katenarda gerginlik kuvveti sıkıştırma kuvveti haline gelir. Ve bu kuvvetler kemer çizgisi boyunca yönlendirildiğinden, kemer bükülmez veya eğilmez. Bir kemer inşa etmek istiyorsanız, kemerin ters yönde bir katenarın şeklini içerdiğinden emin olun. Böylelikle kendi ağırlığı altında özgürce durur ve aynı zamanda en az miktarda malzeme kullanmanız gerekir.

Okumaya devam et

Bir Dakikada Matematik: Altın Oran

Altın oran ilk önce eski Yunanlar tarafından incelenmiş ve geometri açısından tanımlanmıştır. Bir parça doğru alın ve daha uzun ve daha kısa bir parça halinde bölün. Böylece, bütün parça ile uzun parça arasındaki oran, uzun parça ile daha kısa parça arasındaki oran ile aynı olur.

Doğruyu, tüm doğru (a + b) ile uzun parça (a) arasındaki oranın, daha uzun parça (a) ile daha kısa parça (b) arasındaki oranına eşit olacak şekilde bölün.

Okumaya devam et

Bir Dakikada Matematik: Poincaré ve Kaosun Başlangıcı.

1887’de İsveç ve Norveç Kralı II. Oscar önemli bir matematik sorununun çözümü için bir ödül sundu. Bir dizi gök cisimciklerine (örneğin birkaç gezegen ve Güneş) sahip olduğunuzu varsayalım ve zamanla belirli bir noktada hareket ettikleri hızları ve yönlerini biliyorsunuz. Gelecekteki hareketleri, Newton’un hareket kanunlarıyla tanımlanır ve cisimler yerçekimi kanunlarıyla birbirlerine çekim kuvveti uygularlar. Cisimlerin yörüngelerini hesaplamak için bu yasaları kullanın.

Kral Oscar’ın ödülü, 1890’da Fransız matematikçi Henri Poincaré (1854 – 1912) tarafından açıldıktan üç yıl sonra kazanıldı ve kendisini sadece üç cismin bulunduğu durumla sınırlandırdı. Ödülü kazandıktan sonra Poincaré, eseri, Kral’ın doğum günü için birkaç hafta içinde yayınlanacağı için, onu oldukça utanç verici bir duruma getiren, çalışmasında büyük bir kusur keşfetti. Şerefle, Poincaré hatasını itiraf etti ve bir yıl sonra yeni bir eserini yayınlandı. Okumaya devam et

Bir Dakikada Matematik: Temel Doğrusal Programlama

Pineapple isolated on white background with clipping pathKüçük bir toprağınızın olduğunu ve iki tür bitki ekerek, kakao ve ananas, biraz para kazanmak istediğinizi düşünün (iyi ki sıcak bir ülkedesiniz). Tabii ki gelirinizi maksimum yapmak istersiniz, ama öncesinde harcayacağınız para kısıtlı ve toprağınızın boyutları belli. Acaba her üründen ne kadar ekmelisiniz? Okumaya devam et

Bir Dakikada Matematik: Hücresel Otomasyon

“Hücresel otomasyon” ismi biraz korkutucu gelebilir, ama aslında oldukça basittir. Düzlemde bir ızgara düşünün, örneğin kare ızgara veya petek ızgara. Herbir tek hücrede (herbir karede veya altıgende) iki renkten biri bulunsun, siyah veya beyaz diyelim. Her zaman adımında (her saniye veya her dakika diyelim) hücreler komşu hücrelerin renklerine bağlı olarak renk değiştirir.

Örneğin aşağıdaki petek ızgarada iki zaman adımı ile ayrılan üç durum gösteriliyor. Bir hücre renk değiştirir eğer en az dört komşusu zıt renkliyse. Her zaman adımında kurallara uygun şekilde renk değiştirerek ızgarayı süresiz değiştirebilirsiniz.

honeycomb

Okumaya devam et

Bir Dakikada Matematik: Sırt Çantası Problemi

knapsackDünyanın öte kıyısındaki arkadaşlarınızı görmeye gidiyorsunuz ve onlara hediyeler aldınız. Fakat hepsini çantanıza sığdıramazsınız – bazılarını bırakmak zorundasınız. En değerli olanlarından bir bileşim yapmaya karar veriyorsunuz ama havayolunda belirlenen sınırı aşmaması gerekiyor. Bu bileşimi nasıl belirlersiniz?

Açık bir çözüm olası tüm bileşimleri ağırlıkları ve değerleriyle belirledikten sonra ağırlık sınırının altında kalan ve değeri en fazla olan bileşimi almaktır. Az sayıda hediye bulunduğunda işlem kolay olsa da sayı arttıkça işlem zorlaşacaktır: kısaca çok sayıda hediye var ve uçak da kalkmak üzere. Şimdi sorun şu: herhangi sayıda nesne için çalışan ve her halükarda işlemi uzun sürmeyen bir algoritma var mı?

Okumaya devam et

Bir Dakikada Matematik: Doğrusal Regresyon

Doğrusal regresyon verilen bir veri kümesine en iyi uyan doğrusal ilişkiyi tahmin etme işdir. Örneğin, geçmiş yıllardaki tropik fırtınaların sayısının değişimini bulmak isteyebiliriz. Bu durumda zamana göre fırtınaların sayısını  işaretleyebiliriz. Doğrusal regresyon bu noktalar kümesine en uygun düşecek doğruyu bulacak ve doğrunun verilen kümeye ne ölçüde uygun düştüğünü ile ilgili istatistiksel özellikleri ve eğimin sıfırdan farklı olup olmadığını (yani reel trend olup olmadığını) hesaplayacaktır.

hurricanes_cropped
Yıllık tropi fırtınalar. Mavi çizgi yıllara göre fırtınaların sayısı için doğrusal regresyon sonucunu gösteriyor.

Genellikle bir doğrusal regresyon gerçekleştirdiğinizde bağımlı değişken (y diyelim, örneğimizde tropik fırtınaların sayısı) bir veya daha fazla bağımsız (açıklayıcı) değişkene (x_1x_2, vb x_n‘e kadar diyelim) doğrusal olarak bağımlı kabul edilir. Doğrusal ilişki için denklem

y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}

olur. Bağımlı değişken y ve bağımsız değişkenler x_1‘den x_n‘e gözlemlenen bir değerler kümesi verilmek üzere doğrusal regresyon, denklemin katsayılarını (a_{0},...,a_{n}) minimum toplam hatayla (yani gözlemlenen ve denklem yarımıyla hesaplanan değerler arasında kalan farkların toplamı) tahmin eder.

Okumaya devam et