Matematiğin en güzel ve önemli alanlarından biri de sayılar teoridir – sayıları ve özelliklerini inceler. Her ne kadar matematikciler insanların sayabildiği dönemlerden bu yana sayılarla uğraşıyor olsalarda, sayılar teorisi alanı demode olmaktan çok uzaktır; bugünkü en önemli ve ilginç problemlerden bazıları bu alanla ilgilidir. Özellikle asal sayılar büyük ilgi merkezidir.
Tanım: Sadece 1 ve kendine bölünebilen pozitif tamsayıya asal sayı denir.
1 den büyük asal olmayan sayılara bileşik sayılar denir. Örneğin, 2,3 ve 5 asal sayılar ama 6 bileşik sayıdır. Tüm pozitif tamsayılar en az bir tane asal bölene sahiptir. Sayı asal ise asal böleni kendisidir. Bileşik ise asal çarpanlarına ayırarak bulunur: 6=3*2, 18=3*3*2, 48=6*8=2*3*2*2*2
Teorem (Euclid teoremi) : Sonsuz tane asal sayı vardır.
Asal sayılar nasıl bulunur :
Bu hala matematikçilerin cevap bulmaya çalıştıkları bir sorudur. En basit yöntemlerden biri Eratosthenes tarafından M.Ö. 3 yy da geliştirildi. 1 ile 64 arasındaki asal sayıları bulmak istediğimizi farzedelim. Bu sayılardan oluşan bir tablo yapın ve şu şekilde devam edin. En küçük asal iki olduğundan, 2 nin bütün katlarının üzerlerini çiziniz. sonraki çizilmeyen sayı 3 olduğundan 3 ü çember içine alıp katlarının üzerlerini çizin. Sonraki 5 sayısı için de aynısını yapın ve böyle devam edin. Sayılar çoğaldığında bu işlem uzayacak ve nerede son bulacağını bilmek gerekecektir. Bir teoreme göre, bir sayının asallığını araştırmak için en son, onun kareköküne en yakın asal inecelense yetecektir. 64 ün karekökü 8 olduğundan 5 in katlarını silmek yetecektir. Sonuçta kalan sayılar (çizilmeyenler) aradığımız asal sayılardır. Maalesef bu metod sayılar büyüdükçe çok zaman gerektirmektedir.
Asal sayılar teorisi:
Matematikçiler asal sayılarla ilgili çok teori geliştirmişlerdir. Burada bazılarına değineceğiz…
Soru: Asal sayılar birbirlerinden ne kadar uzaktırlar? Bazen sadece 2 tamsayı (ikiz asal sayılar) : 41 ve 43 gibi. Çok örneği olmakla birlikte, ikiz asal sayıların sonsuz çoklukta olduğu ispatlanamamıştır.
Genelde, asal sayılar büyüdükçe aralıkları artmaktadır. Ne kadar arttığı hususunda 1896 da Charles de la Vallee-Poussin ve Jacques Hadamard Asal Sayı Teoremi ile cevap aramışlardır: Pr(x), x ten küçük asal sayıların sayısı olsun. Bu durumda x sonsuz giderken, Pr(x) ile (x/ln(x)) oranı 1 e yaklaşmaktadır.
Bunun anlamı, n bir asal sayı ise, bir sonraki asal sayı ile arasındaki uzaklık yaklaşık olarak ln(n) dir.
Goldbach varsayımı:
Leonard Euler yazdığı bir mektupta Christian Goldbach, 2 den büyük her pozitif çift tamsayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini söylemiştir. Bilgisayarlarla bu çok büyük sayılara kadar doğrulanmasına karşın ispatı henüz yapılamamıştır. Goldbach’ın döneminden bu yana bu varsayım, ‘güçlü’ Goldbach varsayımı (kendi öne sürdüğü) ve ‘zayıf’ Goldbach varsayımı – 7 den büyük her tek sayı üç asal sayının toplamı olarak yazılabilir – olarak ayrılmıştır.
MATEMATİK VE DAHASI 